CONCOURS GÉNÉRAL DES COLLÈGES ROYAUX – ANNÉES 1816 À 1823

Dans ses Problèmes et développemens sur diverses parties des mathématiques (Paris, 1823), le polytechnicien Antoine André Louis Reynaud (1771-1844) a publié quelques-uns des problèmes de mathématiques qui furent posés au Concours général entre 1816 et 1823.

Premier problème

Les deux côtés AE, AF d’un angle plan EAF étant supposés fixes et coupés par une droite mobile BC; trouver la courbe que décrit le centre de gravité G du triangle ABC, quand la droite BC se meut de telle sorte, que la surface du triangle ABC reste constante.

Deuxième problème

Étant donné un quadrilatère AGFH dont les quatre côtés ne sont pas situés dans un même plan, on demande:

1) L’équation de la surface décrite par une droite ED, qui dans son mouvement couperait toujours proportionnellement les deux côtés opposés AH, GF, de manière que dans chaque position de la droite génératrice on eût la proportion
AE : EH :: GD : DF.

2) L’équation de la surface engendrée par le mouvement d’une seconde droite BC, qui couperait proportionnellement les deux autres côtés du même quadrilatère, de sorte qu’on eût la proportion
AB : BG :: CH : CF.

3) On demande si les deux surfaces sont différentes.

Troisième problème

Les trois arêtes d’un angle solide A étant supposées fixes et coupées par un plan mobile BDC, trouver l’équation de la surface courbe que décrit le centre de gravité de la pyramide comprise entre les faces de l’angle solide et le plan dont il s’agit, quand ce plan se meut de manière que le volume de la pyramide reste toujours le même.

Quatrième problème

étant données une sphère et trois droites dans l’espace, mener un plan tangent à la sphère qui fasse des angles égaux avec ces droites.

Cinquième problème

Un cercle étant donné dans un plan horizontal, on demande, 1) de faire voir que si l’on coupe un cône droit dont le cercle soit la base, par une suite de plans verticaux et parallèles entre eux, les sections résultantes seront des hyperboles qui auront leurs asymptotes parallèles; 2) de trouver sur la verticale élevée par le centre du cercle, le point où il faut placer le sommet du cône pour que les hyperboles soient équilatères.

Sixième problème

Trouver l’équation de la surface engendrée par une parabole tournant autour de son axe, et déterminer la position que doit avoir cet axe pour que l’intersection de la surface par un plan quelconque donne un cercle pour projection sur un plan donné.

Septième problème

On donne de position le rayon d’une sphère, et l’on propose de démontrer qu’un plan quelconque perpendiculaire à ce rayon, coupe suivant un cercle tout cône qui a son sommet à l’extrémité du rayon et pour base un cercle de la sphère.

Huitième problème

étant donné un cône droit dans lequel le rayon de la base est le tiers de l’apothème, si l’on prend sur la surface du cône un point situé à la distance a du sommet, et que de ce point, comme centre, avec une ouverture de compas égal à r, on trace sur la surface du cône une courbe, laquelle pourrait être considérée comme l’intersection de cette surface avec celle de la sphère qui a son centre au point donné, et dont le rayon est r. Si ensuite on développe la surface convexe du cône en une surface plane, laquelle sera un secteur circulaire, dont l’angle est 3/4 d’angle droit, on demande l’équation de la courbe tracée sur la surface du cône, et devenu plane par le développement de cette même surface en un secteur plan. L’équation de la courbe étant trouvée en général pour toutes les valeurs de r et de a, on fera a=3, r=2, et on déterminera pour ce cas particulier la figure exacte de la courbe, en la traçant dans toute son étendue.

On examinera de plus si la courbe est décrite tout entière par le compas qui tourne autour du point donné, ou s’il n’y a qu’une partie de la courbe décrite par ce procédé, et qu’elle est cette partie.